概率论的发展及在实际生活中的应用

摘要

概率论与数理统计是数学与世界联系最密切、 应用性最强的一门学科，也是研究随机现象统计规律性的一门学科，至今已有300余年的历史。概率论与人们日常生活和生产实践结合的非常紧密，在生活的各领域中应用范围非常广泛，包括自然科学、社会科学、工商管理、天气预报、生物学、计算机与通信等领域。

本文主要介绍概率论的发展历程及概率统计在保险、医疗、体育、商业等实际生活中的广泛应用。通过日常生活中的概率现象进行分析，进一步揭示概率统计与实际生活的密切联系，为应用概率知识解决实际问题，数学模型的建立，学科知识的迁移奠定一定的理论基础。最后得出结论，概率论不仅是一门课程、一门科学，更是一门生活哲学。

关键词：概率论，概论问题，实际生活

1 概率论的发展过程

1.1 概率论的产生和应用范围简介

17、18世纪，数学获得了巨大的进步。随着人类的社会实践，人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性，并用数学方法研究各种结果出现的可能性大小，从而产生了概率论，并使之逐步发展成一门严谨的学科。概率与统计的方法日益渗透到各个领域，并广泛应用于自然科学、经济学、医学、金融保险甚至人文科学中。概率论进入其他科学领域的趋势在不断发展。

物理方面，放射性衰变，粒子计数器，原子核照相乳胶中的行迹理论和原子核反应堆问题等的研究，都要用到泊松过程和更新理论。

化学反应动力学中，研究化学反应的时变率及影响这些时变率的因素问题，自动催化反应，单分子反应，双分子反应及一些连锁反应的动力学模型等，都要以生灭过程（马尔柯夫）来描述。

许多服务系统，如电话通信，船舶装卸，机器损修，病人候诊，红绿灯交换，存货控制，水库调度，购货排队等等，都可用一类概率模型来描述。在社会科学领域，特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，也大量采用概率论方法。同时它对各种应用数学如统计学、运筹学、生物学、经济学和心理学的数学化起着中心作用。

1.2 概率论的起源

概率论是一门研究随机现象的数量规律的科学，它起源于博弈问题。15-16世纪，意大利数学家帕乔利（L. Pacioli, 1445-1517)、塔塔利亚（N. Tartaglia, 1499-1557) 和卡尔丹（G.cardano, 1501-1576)的著作中都曾讨论过俩人赌博的赌金分配等概率问题。17世纪中叶，荷兰数学家惠更斯（C. Huyzens, 1629-1695)发表了 《论赌博中的计算》， 这是最早的概率论著作。这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念与定理，标志着枇率论的诞生。

17、18世纪之交，有不少数学家从事概率的研究。雅格布·伯努利（Jacob Bernoulli, 1654-1705)的巨著《猜度术》是一项重大的成就，“伯努利定理”著称的极限定理是是“大数定律”的最早形式。伯努利之后，德莫瓦佛的 《机会的学说》（Doct rine of Chances, 1718, 伦敦出版）包含“德莫佛一拉普拉斯定理”。开辟了概率论的新时期。泊松则推广了大数定律，提出了著名的“泊松分布”。

19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫对此做出了重大贡献。他建立了关于独立随机变量序列的大数定律，推广了德莫弗一拉普拉斯的极限定理。19世纪末，一方面概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需要，另一方画，科学家们在这一时期发现的一些概率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的矛盾与含糊之处。

1.2.1现代概率论在实践中曲折发展

在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概念以及它们的基本性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等。这些问题的提法，均促进了概率论的发展。但是，随着概率论中各个领域获得大量成果，以及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率定义的局限性很快便暴露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。

由于19 世纪的分析没有严格化，以其为研究工具的概率论的严格化就成了空中楼阁。虽后来分析的基础严密化了，但测度论尚未发明。因此，20 世纪前的概率论明显缺乏数学的严格化和严密性，甚至连庞加菜（T. H. Po incare,1854- 1912)也不能把概率论演绎成透逻辑上严密完美的学科。诸如““贝特朗悖论”以及概率论在物理、生物等须域的应用都需要对枇率论的概念、原理做出解释。正是这些问题促使人们思考概本论的基础问题及概率论所依赖的数学技术问题。

1900年，希尔伯特（D. H ilbert, 1862-1943)在巴黎国际数学家大会上所作报告中的第六个问题，就是呼吁把概率论公理化。很快该问题就成为当时致学乃至整个自然科学界亟待解决的问题之一。最早对概率论严格化进行尝试的是俄罗斯数学客伯恩斯坦（C. H. Bern steird 1880-1968)和奥地利数学家米泽斯（R. vorll ises, 1883-1953) 因此可以说，到20 世纪初、概率论的一些基本概念，请如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个数学分支缺乏严格的理论基础。

1917 年伯恩斯坦发表了题为“论概率论的公理化基础”的论文，随后的几年他仍致力于研究概率论公理化。1927 年其《概率论》第一版问世，最后一个版本即第四版出现于 1946年。伯思斯坦在书中给出了一个详细的概率论公理体系。

1.2.2概率论的理论基础

概率论的第一本专著是 1713年问世的雅各，贝努利的《推则术》。经过二十多年的艰难研究，贝努利在该书中，表述并证明了著名的“大数定律”。所谓“大数定律很小，这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了满泽关系，”， 简单地说就是，当实验次数很大时，事件出现的频率与概车有较大偏差的可能性构成了从概率论通向更广泛应用领域的桥染。因此，伯努利被称为概率论的奠基人。

正如柯尔莫哥洛夫所言，第一个定义随机事件、概率等概念后，伯恩斯坦引｜进了三个公理。基于这三个公理构造出整个概率论大厦，但其理论体系并不令人满意。正如柯尔莫哥洛夫所言，第一个系统的概率论公理化体系是伯恩斯坦所给，其建立的基础是依据通机事件的概率对事件做定性比较的思想。在定性比较思想中概率的数值似平是推导而来，而不是基本概念。米泽斯的主要工作是概率论的频率定义和统计定义的公理化。在《概率统计和真理》（1928)书中，他建立了频率的极限理论，强调概率概念只有在大量现象存在时才有意义。虽然频率定义在直观上易于理解，易为实际工作者和物理学家所接受，便于在实际工作中应用，但像某个事件在一独立重复试验序列中出现无穷多次这一事件的概率，米泽斯理论是无法定义的。为概率论确定严密的理论基础的是数学穿柯尔莫哥洛夫。1933年，他发表了著名的《概率论基础》， 这是概率论的一部经典性著作。其中，科尔莫戈罗大给出了公理化概率论的一系列基本概念，提出了六条公理，整个概率论大厦可以从这六条公理出发建筑起来，科尔莫戈罗夫的公理体系运渐得到数学家们的普遍认可。由干公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，并通过集合论与其它数学分支密切地联系者。用公理化结构，这个结构明确定义了概率论发展史上的一个里程碑，为他以后的概率论的迅速发展莫定了基础。

1.2.3概率论的进一步发展

在公理化基础上，现代概率论取得了一系列理论突破。公理化概率论首先通过随机过程，所谓随机过程：如果固定某一观则时刻t, 事物在时刻t出现的状态是随机的，即每次所得到的结果是不相同的一个过程。随机过程论是起源于马尔柯随机过程的研究获得了新的起点。1931年，科尔莫戈罗夫用分析的方法莫定了一类普夫关于“成连续锁的试验”的研究。这一类普通的随机过程是马尔柯夫的理论基础。科尔莫戈罗夫之后，对随机过程的研究做出重人贡献而影响着整个现代概率论的重要代表人物有莱维（P. Levy, 1886-1971)、辛钦、杜布（J. L. Dob)和伊藤清等。

1934年，辛钦提出平稳过程的相关理论。1948年莱维出版的著作《随机过程与布朗运动》提出了独立增量过程的一般理论，并以此为基础极大地推进了作为一类特殊马尔可夫过程的布朗运动的研究。1939年，维尔（J. Ville)引进“鞅”的概念，1950年起，杜布对鞅概念进行了系统的研究而使鞅论成为一门独立的分支。从1942 年开始，日本数学家伊藤清引｜进了随机积分与随机微分方程，不仅开辟了随机过程研究的新道路，而且为随机分析这门数学新分支的创立和发展莫定了基础。概率论的发展史说明了理论与实际之间的密切关系。许多研究方向的提出，归根到底是有其实际背景的。反过来，当这些方向被深入研究后，又可指导实践，进一步扩大和深化应用范围。

2 概率论在生活中的应用

2.1古典概率典型分析

例：任意取一正整数，求该数的平方被5整除的概率。

解：须注意到不能把全体正整数作为此题的样本空间，这样的空间是无限的，所以不是等可能的。首先要进行分析，正整数的平方能不能被5整除取决于此正整数的末尾数，即她们可以是0,1，，9这10个数中的一个。任取一个正整数的含义就是10个数字出现的可能性是相等的。即选取样本空间Ω= 所求概率事件A= 即P(A) =

2.2疾病诊断上的应用（条件概率分析）

概率论与数理统计对医学的渗透与结合，已成为现代医学领域的显若特征。利用数学方法定量的对医学问题进行分析，结论可信度更高因此有利于促使对病人的治疗。

例  ：某地居民肝癌病发率为0. 0004, 现用甲胎蛋白质法检查肝癌：患病则呈阳性，未患病则呈阴性，假阴性和假阳性的概率分别为0. 01和0. 05.。现有 一人经过检查后结果显示为阳性，那么他患肝癌的概率有多大？

解：设事件A表示“患有肝癌”， 事件B表示“检验结果呈阳性”， 则题意可知

P(A)=0. 0004.   P()  = 0. 9996,    P(IA)=0. 01.   P(BI)=0. 05.   由叶贝斯所公式可知“该人患有肝癌”的概念为  P（AIB）0. 00786.

结果是让人吃惊的，虽然检查结果为阳性但实际上患病的可能性还不到1，仔细想想是可以理解的。因为1000个人中大约有4人患有肝癌，9996个人健康，这1000个人的检验结果中约有504人呈现阳性，其中500人都只是“虚惊一场”。因此，减少“虚报”是提高诊断的关键所在，实际上可先由医生使用简单易行的方法进行“初查”，再对有可疑患病之人进行“甲胎蛋白质检查”P(A)=0. 4, P(AIB)=0. 9296, 这样就会在很大幅度上提高检查的准确率了。通过这个医疗问题，我们可以看出一当 一个人检查被认为患有某种疾病的时候，实际上并不能肯定其真正患有该疾病，因此要心胸宽广，不要过于背上心理包袱，多用几种方法检查，积极配合医生的洽疗，调整自我心态建许就会有奇迹出现 若一个人检查被认为没有患上重大疾病，也不能高枕无忧，要防患于未然。

2.3小概率原理在生活中的应用

小概率事件是指概率很小，但有可能发生的事件。一个事件必然发生的概率是1，一定不会发生的概率是0，那么小概率事件就是概率接近于0的事件。到底多小的概率值算是小概率呢，我们从以下几个方面来探讨下。

2.3.1概率统计在语言上的应用“瞎猫也能碰上死老鼠”

这是一句广为流传的谚语，听起来似乎是不可能发生事件，但它却符合一定的现实和真理性。从概率论的角度来说，“瞎猫也能碰上死老鼠”是 个小概率事件，类似的谚语还有“不怕一万 就怕万 一”“常在河边走哪有不湿鞋“等。 事实上 ,在随机试验中某一事件A出现的概率P 不论多么小，只要不断地、独立地重复试验，则事件A迟早会出现的概率为1。分析如下：设A为在第1 次试验中出现，则P(A)=1-p。在前2次试验中A至少出现一次的概率为P=1-（1-p),依次类推，第n次A发生的概率为P=1-(1-p)"(n)=2)当n趋近于无限大时，P趋近于1。由以上分析可以看出，虽然小概率事件在一次试验 中发生的可能性很小，但在大量的试验至少发生一次则成 了必然事件。 正如古西腊哲学家亚里士多德所说”不可能的事也是极可能的事“这就告诉我们在做任何事情的时候即使有很小一点可能性，也 一定要努力到最后。

2.3.2概率统计在保险业的应用（泊松分布定律）

保险，相信大家都不陌生，生活中我们经常会看到或者听到各种保险的宣传和推销那么保险公司是如何计算险种并借此盈利的呢？下面通过概率论来解答这个疑惑。

举个例子：某保险公司，假设有2500人买了该公司的同种意外险，一年内非正常死亡的概率是0. 002, 每人每年交的保险费为12元。若意外死亡，家属获得3000元赔偿，那么保险公司亏本概率是多少？

保险公司该保险总收益为2500x12=30000元，一年内死亡人数为x, 则赔付2000x 元，亏本即2000x≥30000, X≥15。每个人死亡的事件是独立的，且只有两个结果，满足伯努利概型。记事件A为一个人死亡，该问题转化为，2500个事件中A出现15次以及15次以上的概率，出现一次的概率为0. 002。从中可以看出，可以利用泊松定理。 K!  ，k=0,1,2...  代入公式即可求得P(X≥15)=0. 0069   这个概率相当低，所以保险公司几乎不可能赔本。

2.4  概率论中期望和方差的应用

情人节期间，某鲜花店某种鲜花的进货价为每束2. 5 元，销售价为每束5元。若没有售完，则情人节营业结束后以每束1. 5元的价格处理。据前5年的有关资料统计，情人节期间这种鲜花的需求量为20束、30束、40束和50束的概率分别为0. 20、0. 35、0. 30和0. 15.问该鲜花店今年情人节前应进多少束鲜花为宜？分析售出一束鲜花能获得利润5-2. 5=2. 5元，处理一束鲜花将亏损1元。由于量少不够卖，量多卖不完，即鲜花的需求量是随机变量。因此，需通过计算在不同进货量时对应的利润期望值E和损失风险R的大小决定进货量。

解：若进货量为20, 则无论销售量为多少，利润均为（5-2. 5)*20=50(元）利润的期望值E1=50*（0. 20+0. 35+0. 30+0. 15)=50(元）

若进货量为30时，利润为（5-2. 5)*20-(2. 5-1. 5)*10=40(元）， 当销量是30、40和50时，利润为（5-2. 5)*30=75(元）； 同理，可计算进货量为40 和50时的利润数。E2=40*0. 20+75*(0. 35+0. 30+0. 15)=68(元）

当进货量为40时，利润的期望值 E3=30*0. 20+65*0. 35+100*（0.30+0.15）=73.75(元）； 当进货量为50时，利润的期望值E4=20*0. 20+55*0. 35+90*0. 30+125*0. 15=69(元)

当进货量为20时，损失风险R1=0*(0. 20+0. 35+0. 30+0. 15)=0(元）； 当进货量为30时，损失风险R2=35*0. 20+0*(0. 35+0. 30+0. 15)=7(元）； 当进货量为40时，损失风险 R3=70*0. 20+35*0. 35+0*(0. 30+0. 15)=26. 25(元）；

当进货量为50时，损失风险 R4=95*0. 20+70*0. 35+35*0. 30+0＊0. 15=54(元）。从利润期望值最大角度考虑，应该选择进货量为40束，但是从损失风险最小的角度分析，选择20束更为稳妥。若要兼顾两者，进货量可以选择在20束到40束之间，这样利润和损失风险都介于中间值。

2.5概率论在体育上的应用

奥运会是全民关注的体育盛宴，我国的射击也是重点夺金项目，因此运动员的选拔上是非常慎重的，运动员水平的高低直接影响赛事影响国家排名。那么应该选则有爆发力的选手，还是选择稳定性更好的呢？我们通过数据来看下答案。

射击所用的靶子一般有10环，从靶心向外分别是10环、9环、8环、一直到1环，射中位置越靠近靶心所得的环数就越高，同样选手的得分就越高。现一个射击队有甲乙两名队员可参加比赛，但是只有一名能代表国家参加世界级比赛，甲乙两人进行一场比赛优胜者获得出赛资格。甲乙各射击了10次，所得结果如下：甲：8, 6, 9, 5, 10, 6, 8,9, 5, 10: 乙：8, 7. 8, 8, 9, 9, 6, 7, 8, 6. 问应该派哪位队员参赛？我们分析这道题可知，甲乙两人所得的总环数是相同的。都是76坏，但是显然乙队员的方差较甲队员要低，因为乙队员的成绩更加稳定，所以应该派乙队员参赛。除了射击、概率论在其他体育赛事中的应用也有很多，本文就不再详细说明了，大家可以自行搜索资料进行了解比对。

参考文献

［1]魏宗书，概率论与数理统计教程（第二版）：

［2]刘长波，生活中的概率问题举例［门沈阳师范大学学报，2007, 25(4): 531-533.

［3]徐传胜，运用实际问题改进概本统计教学［J], 数学教育学报，2000, 11(4).

［4]菜海涛等编著，概率论与数理统计典型例题与解法 [M]长沙：国防科技大学出版社，2003.

致谢

本论文是在导师老师的细细指导下完成，写作过程中由于我的专业知识有限，遇到很多困难，得到老师的指导加以修改完善后，论文方才能完成。本论文从选题到完成都经由导师的指导完成，倾注了导师大量的心血，在此谨向导师表示深深的感谢!导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，让我受益匪浅，同时老师严以律己宽以待人、平易近人的人格魅力对我影响深远。不仅使我树立了远大的学术目标、掌握了基础的研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处事的道理。

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