数学分析原理和方法在中学数学中的应用

摘要

把数学分析的思想、方法和知识应用于解决中学数学问题上,能起到以简驭繁,达到初等数学不能达到的目的,使许多在中学数学中由于受到知识的局限而无法深入讨论的问题得到解决，可见数学分析是在实践中为了解决初等数学不能解决的难题而长期发展起来的。随着中学数学教育改革的进行，中学数学课外活动蓬勃开展在中学活动课程中学生常常接触一些中学数学课本以外的知识，数学奥林匹克在中学活跃了学习空气，同时也对中学数学教师提出了更新更高的要求。数学分析和其他一些高等数学的知识，在其中发挥着更加突出的作用。如集合的拆分，组合计数，递归数列，利用极限推证不等式，用介值定理求方程的近似解等。许多课外活动的数学问题其内容有高等数学的背景，现代数学的观点，有高等数学的思想方法，但其解法又是初等而又十分巧妙的，文章是对数学分析课程在中学数学教学中的应用作简要探讨。

关键词：数学分析，解决中学数学问题

1.引言 

数学分析是高等教学中的基础技能之一，对数学教学具有促进作用。针对数学的抽象性和严谨性特征，数学分析能够使概念清晰化，数学分析中包含了数学知识内容，主要采用极限的方式建立数学概念之间的内在联系，从而为数学学习提供丰富的方法，拓展学生视野，为数学教学提供理论基础。通过“数学分析”课程基本知识的传授与相关习题，实例的训练，使学生养成严谨务实的学风，逻辑思维能力，分析和解决问题的能力进一步提高。特别是重视学生发现问题、分析问题、解决问题的数学思想的培养。力争为把学生培养成既有严谨的逻辑思维能力、又有科学创新精神的人打下良好基础。中学数学教育中，数学分析原理和方法对于提高数学教学效率有着至关重要的作用。

2.数学分析的重要作用

数学分析以及丰富的内容为数学教学提供了理论基础，其在数学教学中的作用经得起验证。并且是对数学能力、数学意识的客观反映。在教学中，其作用重点体现为以下几点:

2.1数学分析有助于培养学生的辩证唯物主义思想

数学分析以极限思想为核心内容，极限的定义利用“e”语言实现了有限与无限两个概念紧密相连，将事物由量变向质变转变的过程转化为数学语言。通过这一分析过程，学生自然的掌握了唯物主义理论，对其数学知识学习具有积极意义。

2.2数学分析有助于培养学生的数学应用意识

数学分析来源于实践，在数学教材中，许多例子应用于数学分析理论。通过数学分析理论，学生具有较强的应用意识，丰富了其解题技巧，从而培养其自主学习和探究精神，与素质教育的精神相吻合。

2.3培养抽象意识、建立审美意识

数学分析的主导思想导数和定积分具有高度抽象特点。利用数学分析思想，使学生形成正确的审美观念，培养其抽象意识。

通过概念、命题的形成过程而培养学生从本质看问题的习惯。而对于复杂事物或概念，数学分析可帮助学生学会由表及里，分清主次的特点，为学生数学问题的解决提供了多样化的、可行的方案。数学分析思想中的极限、微积分都具有抽象特点，有助于引导学生发现数学中的美感，对数学产生好的印象，从而提高其对数学学习的兴趣。

3.数学分析原理和方法在中学数学中的应用

3.1微分学原理和方法在数学中的应用

数学分析中的微分学原理对函数图形的解读具有积极意义。函数图形多采取描点法进行图形绘制，这种方法在结果上存在一定的偏差。此时，利用数学分析的导数概念可正确判断函数的凹凸性、单调性等特点，可精确计算出函数极值点和拐点。最后，通过极限法求出渐近线，从而得出函数草图，再利用数学分析中的微积分思想就可以准确绘制函数图形。

在中学数学中要作出函数的图形除了利用极易判断出来的函数的单调性以及可明显看出的一些极值点等性质外最主要的还是依靠描点法作函数的图形，如此作出的图形究竟是不是该函数的真正图形是无法肯定的。而在数学分析中，利用导数判断出函数的单调性、凹凸性求出极值点和拐点再利用极限求渐近线，就能精确地画出函数的草图所以可用微分学原理和方法指导中学数学教学。

3.1.1讨论函数的单调性

中学数学讨论函数单调性一般只能根据定义，计算很繁琐，对某些函数甚至无法判别，而根据微分学中严格单调的充分条件的定理:“若A对XE(ab)有(x)>0或fx)<0)则函数f(x)在(ab)内严格增加或严格减少)。”则可使解法简化并能使问题得以深化和拓展。

3.1.2证明不等式。

不等式在中学数学中占据着重要地位这体现于它在解方程(如解不定方程、三角方程、对数方程等)和有关函数的问题三角证明题、极值条件极值几何证明题等诸方面的应用。不等式的证明方法多种多样没有一个统一的模式。初等数学常用的方法是恒等变形数学归纳法、利用二次型使用重要不等式其中进行巧妙的恒等变形形成非负的项或者凑成可利用的重要不等式(如(a+b)≥b等)是极有生命力和创造力的方法但这里往往要有较高的技巧。利用微分中值定理函数的单调性定积分的性质等有关知识可使不等式的证明过程大大简化。

3.2积分原理和方法在数学中的应用

积分包括不定积分和定积分两部分。不定积分是从逆运算的角度把积分看作微分的逆运算而定义的。而定积分是从极限的角度把定积分看作是特殊类型的极限加以定义的，这两类积分从定义形式上看截然不同，但Newton-Leibniz的微积分基本定理揭示了它们的内在联系，使得求一个和式极限这个相当困难的定积分问题转化为通过求不定积分来加以解决从而使两者成为不可分割的整体在理论和应用上取得了长足发展。单从数学分析来看定积分不仅对求面积、弧长、体积、近似计算等问题+分有用而且与数学分析的另一组成部分一-级数之间建立了联系。

定积分除具有具体应用的优势外，更具有方法上的指导意义。在中学数学中，对一些规则平面图形或空间立体的面积、体积和表面积给出计算的公式，但其中相当一部分公式无法给出推导的方法，在研究体积计算问题时常用的一个重要定理--祖晅定理也只能当作公理介绍，并由它以及长方体的体积公式推出柱、锥台球等体积公式。而在数学分析中有关面积、体积的计算完全可利用积分或重积分精确地计算出来,祖晅定理、柱锥台、球等体积公式。只须用定积分的定义便可简捷地给出证明。中学数学教师有了数学分析作为工具在遇到有关面积体积的计算问题时可先用数学分析的方法求出解答这为选择适当的教学方法指明了方向。 

两种积分形式虽具有一定差别，但实际上存在必然的联系。二者之间可以实现转化，通常可将定积分转化为不定积分问题，从而降低解题难度。因此，积分法原理充分利用了数学分析的精髓，将积分与定积分问题联系在一起，提供了专业的数学解题理论。大学阶段，数学概念作为成型的理论出现，但并未进行详细的推导。这样对于一些概念的应用来说，学生理解起来较为困难，无法应用自如。而通过数学分析理论，有关公式的计算完全可利用积分或微积分精确地进行计算，并提供分析过程，使学生准确理解数学概念。总之，在数学教学中，数学分析为多种数学知识的计算提供了理论依据，为其分析提供了方向。

3.3级数理论在数学中的应用

级数理论同样是数学分析中的一个重要内容，利用函数的级数展开式可进行近似计算，中学数学用表中的三角函数表、常用对数表等均是利用级数理论求出其近似值来制作。中学教师具备了这些知识后，在日常教学中就不但能教学生如何查表还可说明造表的理论依据激发学生学习数学的兴趣。

4.提高能力，掌握数学思想与方法

数学分析内容丰富、理论知识扎实，并且包含了大量的数学思维。其应用有助于学生了解数学的本质，领会数学的内涵。因此，要将数学分析应用于数学教学中，需要教学人员提高教学能力，正确解读数学分析教学指导思想。在数学分析思想中，数学中常用的数形结合法、待定系数法消元及配方等方法应用广泛。从而使数学分析从思想与方法上对数学具有切实的指导意义。因此，其在数学教学中的应用具有可行性，且能够促进数学解题思维的形成。当然，在数学分析应用过程中，数学教师的素质具有重要作用，在教学过程中，教师要善于总结与联系，将学生的旧知识体系与利用数学分析的原理和方法可以改变我们对一些问题的思维方式拓宽我们的解题思路。中学数学教师在讲授上述内容时可先用数学分析的方法求出答案做到心中有数然后再根据中学数学知识结合学生的实际情况设计出既不违反科学又利于后续课程学习并且最易为学生接受的最佳教学方案这样必能收到理想的教学效果。

把数学分析的思想方法知识应用于解决中学数学问题上能起到以简驭繁的作用尤其是在不等式与恒等式的证明、求函数极值与切线及单调区间方程根的讨论、研究函数的性态与作图以及解决实际问题等方便不仅可以简化解法而且能使问题的研究更为深入全面。将新知识教学联系在一起，使学生能够正确认识数学教学与数学分析之间的关系，提高其学习热情，从而促进数学教学的高效化和专业化。

5结论

利用数学分析的原理和方法可以改变我们对一些问题的思维方式拓宽我们的解题思路。中学数学教师在讲授上述内容时可先用数学分析的方法求出答案做到心中有数然后再根据中学数学知识结合学生的实际情况设计出既不违反科学又利于后续课程学习.并且最易为学生接受的最佳教学方案，这样必能收到理想的教学效果。传统的数学概念教学中，教师采用单一的 学方式，学生很难理解，一些概念直接拿来应用，导致学生对数学的兴趣较低。而采用数学分析方法之后，学生可利用唯物主义分析数学概念，并且为其提供了数学解题思想与方法。数学分析思想以极限、微积分为核心，集数学思想、解题方法和数学知识为一体，从而将复杂的问题简单化。但在具体的应用过程中，教学数学分析思想应用并不完善，如何将其合理的应用于数学教学是目前数学教学的主要任务之一。

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致谢

在此毕业论文完成之际，我首先要感谢我的论文指导老师，他是一位认真负责，热情的老师，在整个毕业论文的撰写过程中，他都对我进行了认真的指导和详细的修改，从他的身上我也学到了很多，比如说严谨认真、一丝不苟的工作作风。我将永远记住他曾经给予过我的教导，我要向指导老师表达我内心最崇高的敬意和最衷心的感谢!同时我还要感谢所有代课老师和辅导员，在我学习和生活过程中，这些老师给予了我很多的教导和很大的帮助，从他们身上我学到了很多做人的道理，将使我受益终生。感谢我的家人和好友，他们的关爱和支持永远是我前进的最大动力，在任何时候，他们都给予我最大的鼓励和支持，我感谢他们!

最后，向审阅我论文和参加答辩的老师们表示衷心的感谢，感谢你们抽出宝贵的时候参加我的论文答辩会，感谢你们对论文不当之处提出的宝贵意见和建议！

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